FLOPs y el caso N-Body

• FLOP: operación de coma flotante (IEEE754; precisión simple 32 bits, máx. $\approx2^{128}\approx3\times10^{38}$). Se mide en FLOP/s.
• Suma y multiplicación son rápidas; división, raíz, trigonométricas y logaritmos son mucho más lentas — evitarlas en HPC.
• Un núcleo de 2–4 GHz con 2–4 ops FP/ciclo ⇒ 4–12 GFLOP/s. La memoria se mide en GB/s: la diferencia define la intensidad aritmética (compute bound vs memory bound).

Eliminación de Gauss: $\approx n^3$ FLOPs

$n$	FLOPs	Tiempo a 1 GFLOP/s
$10$	$10^3$	$10^{-6}$ s
$10^2$	$10^6$	0.001 s
$10^3$	$10^9$	1 s
$10^4$	$10^{12}$	~1000 s (≈17 min)
$10^5$	$10^{15}$	~$10^6$ s (≈278 h)
$10^6$	$10^{18}$	~32 años

Una matriz $10^6\times10^6$ de doubles ocupa 8 TB. Paralelizar no es opcional.

Speedup ∝ FLOPs

Como $T\propto 1/\text{FLOP/s}$, $\;S=\dfrac{T_s}{T_p}\propto V(n,p)$. Respuesta corta y directa (PD02 2026-I, 1.3).

FLOPs teóricos del N-Body

$$V(n,p)\approx\frac{\gamma N^{2+x}}{\alpha N^{2+x}/p+\beta\log p},\quad \gamma=500,\ \alpha=10^{-9},\ \beta=1,\ x=0.31$$

N = 10^6.0 = 1.00e6p (nodos) = 5000

αN^(2+x)/p14.5

β log p12.3

V(N,p)1.35e15 FLOP/s

Límite γp/α (N→∞)2.50e15

Ambos términos son comparables (o domina β log p) ⇒ V sí depende de N. Por eso 2025-I dice «no depende» y 2026-I «depende ligeramente»: justifica con el cálculo, no de memoria.

V(N), p=5000γp/α

En el examen (arquetipo D)

1. Puntos de cruce en la gráfica T vs nodos = número óptimo de nodos (cómputo baja con $p$, comunicación sube). Para $N$ mayor, el óptimo se mueve arriba y a la derecha (más nodos).
2. Sustituye numéricamente para ver qué término del denominador domina; no lo asumas.
3. Escalabilidad: $E=O\!\left(\dfrac{1}{1+\frac{\beta\,p\log p}{\alpha N^{2+x}}}\right)$ ⇒ fuerte: $E\sim\dfrac{1}{p\log p}$, no escala; débil: $N^{2+x}\propto p\log p$.

Error común

Memorizar «no depende de N». 2025-I respondió eso (asumiendo que domina $\alpha N^{2+x}/p$ ⇒ $V\approx\gamma p/\alpha$); 2026-I respondió «depende ligeramente de N». Con $N=10^6$, $p=5000$ ambos términos son del mismo orden: juega con el playground.

Ejercicio (PD02 2025-I Ej. 2 / 2026-I Ej. 1)

(1) ¿Qué representan los puntos de cruce en las gráficas tiempo vs nodos (64K y 512K cuerpos)? ¿Cómo sería para $N=10^6$? (2) FLOPs teóricos en un supercomputador de 5000 nodos; ¿depende de $N$? (3) Relación Speedup–FLOPs. (4) Escalabilidad fuerte y débil.

Ver solución

1. El número óptimo de nodos por simulación (≈12 para 64K, ≈40 para 512K). Para $N=10^6$ el cruce se mueve arriba y a la derecha: óptimo con más procesadores; se puede proyectar con la fórmula de complejidad.
2. $V\approx\gamma p/\alpha=500\cdot5000/10^{-9}=2.5\times10^{15}$ = 2.5 PFLOP/s. 2025-I: «no depende de N»; 2026-I: «depende ligeramente de N».
3. $S\propto$ FLOPs, porque $T_s\propto1/\text{FLOP}$.
4. $E=O\!\left(\dfrac{1}{1+\frac{p\log p}{N^{2+x}}}\right)$: con $N$ constante $E=O\!\left(\dfrac{1}{p\log p}\right)$ ⇒ no escala fuerte. Escala débil si $N^{2+x}\propto p\log p$, i.e. $N\approx(p\log p)^{1/2.31}$.

Autoevaluación

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1. Gauss con $n=5\times10^4$ a 1 GFLOP/s tarda aprox.

a) 125 sb) 35 hc) 17 mind) 32 años

2. El punto de cruce de las curvas de N-Body representa…

a) la latenciab) el número óptimo de nodosc) el máximo de FLOPsd) el span

3. Un algoritmo con muchas divisiones y raíces es…

a) más rápido en FLOP/sb) más lento: aritmética complejac) iguald) memory bound siempre

Fuente ·estudio/03_Amdahl_Gustafson.md §6 · previos/2025-I-CS4052-PD02-sol.pdf (Ej. 2) · previos/2026-I-CS4052-PD02(sol).pdf (Ej. 1) · 08_Solvers (Arquetipo D)